Как привязать приложение к аккаунту Google?

Я бы посоветовал посмотреть в сторону Firebase, которая как раз и создавалась в том числе и для подобных задач - кросс-платформенная авторизация без собственного бекэнда.

Начать можно тут: https://firebase.google.com/docs/auth/android/start/ Здесь описаны шаги по добавлению авторизации в своё Android-приложение.

Так же есть готовые примеры: https://github.com/firebase/quickstart-android/tree/master/auth

Можно по разному сделать.

1. Можно на своем бэкенде хранить что-то что доступно только конкретному пользователю, с какого бы устройства не заходил в ваше приложение.
2. Можно хранить эту информацию на серверах Гугла, и он сам будет заботиться о синхронизации между устройствами.

Как вариант 2 вам может подойти: https://developers.google.com/drive/android/appfolder