Как распарсить String array в BigInteger?

Нужно просто в вашем примере сменить тип массива на BigInteger, и при инициализации элементов этого массива вызывать конструктор, принимающий String:

String[] arrStr = {"7", "3"};
BigInteger[] arrBigInt = new BigInteger[arrStr.length];
for (int i = 0; i < arrBigInt.length; i++) {
    arrBigInt[i] = new BigInteger(arrStr[i]);
}

Еще вариант с помощью Java Stream API

String[] arrStr = {"7", "3"};
BigInteger[] arrBigInt = Arrays.stream(arrStr).map(s -> new BigInteger(s)).toArray(BigInteger[]::new);