Как сложить все числа в строке?

Решение без регулярных выражений, в лоб:

String str = "sdfa3214adsf41agsd";
int sizeOfStr = str.length();
int sum = 0;
int tempNum = 0;
for(int i = 0; i<sizeOfStr; ++i){
  if(Character.isDigit(str.charAt(i))){
    tempNum = (10 * tempNum) + Character.getNumericValue(str.charAt(i));
  } else {
    sum += tempNum;
    tempNum = 0;
  }
}
sum+=tempNum;
System.out.println(sum);

Можно регулярными выражениями:

import java.util.regex.*;

String s = "qwe120sd33d03";
Pattern p = Pattern.compile("(\\d+)");
Matcher m = p.matcher(s);
Integer sum = 0;
while (m.find()) {
  sum += Integer.parseInt(m.group(1));
}
System.out.printf("%d\n", sum);