Как сохранить данные из приложения, которое работает в режиме отладки?

У вас идёт обновление с потерей данных по одной из двух причин (или обе сразу):

1. Не тот ключ подписи приложения. Скорее всего у вас стандартный Debug ключ.
2. Обновление идёт с понижением версии приложения.

Соответственно пути решения:

1. Перенести ключ подписи приложения со старого компа на новый.
2. Повысить версию приложения до такой же или большей.

Ключ подписи приложения обычно лежит тут:

• Windows C:\Users\USERNAME\.android\debug.keystore (где USERNAME это имя пользователя PC)
• Linux или Mac OS User: ~/.android/debug.keystore

Данные вытаскивать нужно по разному в зависимости от их типа и местоположения.

1. Если у вас используются SharedPreferences - то ищите файлы в /data/data/ТУТ_ИМЯ_ПАКЕТА_ПРИЛОЖЕНИЯ/shared_prefs/ТУТ_ИМЯ_ПАКЕТА_ПРИЛОЖЕНИЯ_preferences.xml. Это требует root доступа к девайсу. Если его нет - экспортируйте программно, дописав нужный код в приложении.

2. Если БД - то ищите файл оной тут: /data/data/ТУТ_ИМЯ_ПАКЕТА_ПРИЛОЖЕНИЯ/databases/ТУТ_ИМЯ_БД. Также нужен root доступ. Если нет его - также пишите код по вытаскиванию данных. По идее оптимально будет или в JSON формате вытаскивать или в виде дампа БД в виде набора скриптов инсерта всего и всё + скрипт создания схемы. Возможно есть даже встроенные возможности для дампа.

3. Если файлы на девайсе - собственно просто скопировать их надо. Если они не в публичном месте сохранены и нет root доступа - также пишите код по их извлечению.