Как сохранить изображение в галерее

Перед сохранением изображения Вам нужно проверить, разрешен ли приложению доступ к карте памяти на запись. Если доступ разрешен, то все ок, если нет – то необходимо запросить это разрешение у пользователя:

if (ContextCompat.checkSelfPermission(thisActivity, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
    if (ActivityCompat.shouldShowRequestPermissionRationale(thisActivity, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE)) {
        // Здесь отображаете диалог с объяснением -- зачем
        // Вашему приложению требуется данное разрешение.
        // По кнопке "Ок" диалога запрашиваете разрешение.
    } else {
        ActivityCompat.requestPermissions(thisActivity, new String[]{Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE}, MY_PERMISSIONS_REQUEST_CODE);
    }
}

Далее, в методе onRequestPermissionsResult(...) получаете решение пользователя:

@Override
public void onRequestPermissionsResult(int requestCode, String permissions[], int[] grantResults) {
    switch (requestCode) {
        case MY_PERMISSIONS_REQUEST_CODE: {
            if (grantResults.length > 0 && grantResults[0] == PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
                // Пользователь разрешил доступ
                // Сохраняете картинку на диск
            } else {
                // Пользователь запретил доступ
            }
            return;
        }
    }
}

Более подробную информацию можно найти в официальной документации.