Как сохранить состояние меню?

Я бы создал отдельный класс для работы с префами:

public class Preferences {
    private final static String VISIBILITY_FLAG = "is_visible";
    private SharedPreferences mPreferences;
    public Preferences(Context context) {
        mPreferences = context.getSharedPreferences(FILE_NAME, Context.MODE_PRIVATE);
    }
    public void setVisibilityFlag(boolean isVisible) {
        getEditor().putBoolean(VISIBILITY_FLAG, isVisible).commit();
    }
    public boolean getVisibilityFlag() {
        return mPreferences.getBoolean(FLAG, false);
    }
    private SharedPreferences.Editor getEditor() {
        return mPreferences.edit();
    }
}

После чего в активити я бы создал переменную, например (если вы знаете что такое MVP или другие архитектурные паттерны то работал бы через презентер)

private boolean isVisible;
private Preferences preferences = new Preferences(context);

И далее при изменении состояния я передавал бы значание isVisible в префы:

preferences.setVisibilityFlag(isVisible);

И соответственно при загрузке приложения получял бы их:

isVisible = preferences.getVisibilityFlag();

Вот здесь можно рассмотреть более подробно https://startandroid.ru/ru/uroki/vse-uroki-spiskom/73-urok-33-hranenie-dannyh-preferences.html