Как создать свой браузер с возможностью скачивания видео с любого сайта?

Если ставить цель по создантю новых браузеров, я бы рекомендовал обратить внимание на "движки" для браузеров, к примеру Webkit вот вики по нему. Вот сайт webkit. На нем работает хром и сафари. Что касается по скачке файлов (видео и других) с сайтов, то это уже всё ручками кодить придется. Да кстати вот нагуглил список всех движков для создания браузеров. Большинство браузерных движков написаны на C++.

Android Studio - среда разработки приложений для ОС Android. Решение вам нужно искать, применительно к платформе (Android), а не инструменту (условно - сложному текстовому редактору Android Studio), а написать код найденного решения вы можете и в блокноте, с тем же самым успехом. Это на будущее.

Обработка контента веб-страницы осуществляется браузером, а не операционной системой. Соответственно вам нужно работать с HTML кодом, скриптами, API испльзуемого web-плеера и пр. - средствами браузера, а не с манифестами, разметками и активити, которые являются средствами системы.

Перехват закачек на стрим-видео обычно осуществляют через разработку плагина (расширения) для движка браузера, который и реализует и получение самой ссылки и диалоги скачать и прочий интерфейс. Разработка такого плагина не имеет ничего общего с ОС, на которой запущен браузер, а зависит только от выбранного в браузере движка и вопросы по его изготовлению нужно задавать в соответствующих местах.

Более того, для стриминга видео могут использоваться разные плееры, в том числе собственные, с защитой от перехвата ссылки на закачку, поэтому одного универсального решения для всех сайтов не существует.