Клиент-Сервер на Java

Да, вы можете запустить сервер вашего чата из дома у себя на компьютере, и кто угодно сможет подключиться, но для этого у вас должен быть белый статический IP. Если в двух словах, то белые статические IP адреса, это публичные адреса, которые видны всему интернету. Они закрепляются за конкретными устройствами на долгое время. Для того, чтобы получить такой IP, обратитесь к вашему интернет-провайдеру. Большинство из них предоставляют такие возможности, но как правило берут за это ежемесячную плату.
Если за вами не закреплен белый статический IP адрес, то толку никакого не будет, хоть через роутер, хоть напрямую через интернет-кабель.
Про белые и серые адреса можно почитать здесь