Мой пример и его ошибки

Ваш класс Cat является родительским классом для всех остальных классов, описывающих животных. Все дело в конструкторе, который вы создали в классе Cat. Дело в том, что компилятор автоматически добавляет конструктор без параметров в любой класс , но только до тех пор, пока вы не добавите конструктор с параметрами, что и произошло в классе Cat. Теперь все ваши классы, которые наследуются от клааса Cat, должны в своем конструкторе вызвать конструктор родителя, поскольку он теперь один. Вы должны помнить, что у класса родителя и дочерних классов отношение is a, т.е. дочерний класс всегда является своим супер классом. В вашем случае в супер классе есть конструктор, а конструктор служит для создания экземпляра класса и инициализации переменных. Конструктор в вашем классе Cat всего один, это значит , что путей создать экземпляр данного класса, кроме как вызвать единственный конструктор, просто не существует. Отношение is a дочернего класса теперь вынуждает все дочерние классы вызывать данный конструктор суперкласса, ведь другим путем создать объект теперь невозможно. Посему вам нужно переписать свой класс Cat, добавив геттер для имени.

public class Cat {
    private String name;
    public Cat(String name) {
        this.name = name;
    }
    public String getName() {
        return name;
    }
    public void run() {
        System.out.println("Бег");
    }
}

А все дочерние классы написать таким образом, чтобы в конструкторе было обращение к конструктору класса родителя (super(name)).

public class Tiger extends Cat {
    public Tiger(String name) {
        super(name);
    }
    @Override
    public void run() {
        System.out.println("Тигр бежит");
    }
}

При этом переменная String name в каждом классе уже не нужна, ведь она есть у родителя.

Класс Doctor теперь будет выглядеть так (обращение к переменной через гетер)

public class Doctor {
    public void healCat(Cat cat) {
        System.out.println("Пациент " + cat.getName() + " здоров");
        cat.run();
    }
}