Надо сохранить информацию о том сколько раз пользователь подсмотрел ответ

Ну что бы счетчик сохранялся и после рестартов приложения, я бы использовал SharedPreferences

это для того что бы сохранить значение:

public void saveCount(int count){
    SharedPreferences  sPref = getSharedPreferences("My Count", MODE_PRIVATE);
    SharedPreferences.Editor ed = sPref.edit();
    ed.putInt("COUNT", count);
    ed.commit();
}

ну а это для того что бы вытащить сохраненое значение:

public int loadCount() {
    SharedPreferences sPref= getSharedPreferences("My Count", MODE_PRIVATE);
    return sPref.getInt("COUNT", -1);
}