Несколько AsyncTask для парсинга страницы?

В случае AsyncTask вам нужно создать новый экземпляр задачи и запустить её. Т.е. использовать уже завершённую задачу заново не нужно и даже не получится.

Также попробуйте более современные и модные способы общения с сетью. Например связку OkHttp, RxJava и Retrolambda. С ними получение HTML страницы это всего 4 строки:

Observable.fromCallable(() -> new OkHttpClient.Builder().build().newCall(new Request.Builder().url("https://kremlin.ru").build()).execute().body().string())
.subscribeOn(Schedulers.io())
.observeOn(AndroidSchedulers.mainThread())
.subscribe(response -> Log.d("html: " + response ), error -> Log.e("error", e));

Код выше скачивает вне основного потока HTML с сайта и выводит его в консоль уже в основном потоке. В случае ошибки она также будет выведена в консоль. В этом же стиле можно и парсинг станицы делать.