После запуска Intellij idea исчезает модуль проекта

Судя по желтой обводке iml файла, весь проект криво создан.
Попробуй удалить его и через File -> New -> Project from existing sources создать проект заново.

У вас не сохраняется конфигурация модуля, которая должна храниться в .iml файле. Обычно ИИ оставляет эти файлы в папке модуля. Причина вами не указана, поэтому трудно вам дать какой-то совет. Я бы на вашем месте проверил, можно ли писать в файл модуля и доступен ли он. Для этого можно создать небольшой проект который читает файл.