Разделить cookie

Есть скрипт который подключается на сайт.

Допустим есть Сайт1 и Сайт2 на которых подключен данный скрипт (Эти сайты абсолютно разные, никак не связанные между собой). При загрузке данного скрипта сервер (Tomcat) ставит куку id сессии и соответственно даёт ему домен site.com (адрес сервера)и path = /. После полной загрузки сайта, скрипт делает Ajax запрос на сервер (CORS настроен).

Проблема вся в том что: Я открываю Сайт1, куки поставились, все дела. Потом открываю Сайт2 то получается так что куки поставленные на Сайт1, но с доменом сервера, будут те же и на Сайт2.

Я попытался разделить их при помощи path в куках, но это привело к тому что эту куку теперь не подхватывает Ajax.

Как еще можно разделить их?

Спасибо.