Установить картинку на фон textArea

С помощью Scenic View можно выявить внутреннюю структуру TextArea:

TextArea styleClass="text-input text-area"
  ScrollPane styleClass="scroll-pane"
    StackPane styleClass="viewport"
      StackPane
        ContentView styleClass="content"
          Group
            Text styleClass="text"
          Path
    ScrollBar styleClass="scroll-bar"
      ...
    ScrollBar styleClass="scroll-bar"
      ...
    StackPane styleClass="corner"

Исходя из этого, можно задать фоновое изображение в .css-файле в .text-area {...}, а внутренним панелям назначить прозрачность. При этом изображение не будет прокручиваться вместе с текстом:

.text-area {
    -fx-background-image: url("bg.png");
}
.text-area .scroll-pane .scroll-bar {
    -fx-background-color: rgba(255,255,255,0.5);
}
.text-area .viewport {
    -fx-background-color: transparent;
}
.text-area .content {
    -fx-background-color: transparent;
}
.text-area .text {
    -fx-effect: dropshadow(gaussian,#fff,10,0.8,0,0);
}

Если же нужно, чтобы изображение прокручивалось, тогда следует указать его в .text-area .content {...}.

Документация по CSS:

JavaFX 9 CSS Reference Guide

JavaFX 8 CSS Reference Guide