Для чего используется плюс перед new Date и style.opacity?

Согласно спецификации

Оператор "Унарный +" преобразует свой операнд к типу Number.

Для чего это нужно в коде в вопросе?

el.style.opacity - возвращает строку, поэтому при сложении ее с числом, это число было бы приведено к строке и произошла бы обычная конкатенация строк, например:

el.style.opacity = 1
el.style.opacity = el.style.opacity + 2 

значением el.style.opacity в данном случае будет "12", а не 3.

При этом, в случае с Date, можно опустить этот оператор, так как аргументы "оператора –" и так будут приведены к числу. Но даже и этого не нужно, так как есть метод now(), который уже возвращает число.

Кроме того вместо расчета приращения прозрачности можно просто заново рассчитывать полное значение прозрачности и вообще убрать приведение к числу и не хранить последнее значение timestamp.

Исходя из этого, код можно переписать так:

function fadeIn(el) { 
  el.style.opacity = 0; 
  var start = Date.now(); 
  var tick = function() { 
    el.style.opacity = (Date.now() - start) / 400; 
    if (el.style.opacity < 1) { 
      (window.requestAnimationFrame && requestAnimationFrame(tick)) || setTimeout(tick, 16); 
    } 
  }; 
  tick(); 
} 
 
fadeIn(document.getElementById('a'));

#a { 
  width: 100px; 
  height: 100px; 
  background-color: green; 
}

<div id="a"></div>

Так как callback для requestAnimationFrame первым параметром принимает текущий timestamp, который соответствует значению возвращаемому performance.now() можно использовать его например так:

function fadeIn(el) { 
  el.style.opacity = 0; 
  var start = performance.now(); 
  var tick = function(timestamp) { 
    el.style.opacity = (timestamp - start) / 400; 
    if (el.style.opacity < 1) { 
      (window.requestAnimationFrame && requestAnimationFrame(tick)) || setTimeout(tick, 16); 
    } 
  }; 
  tick(); 
} 
 
fadeIn(document.getElementById('a'));

#a { 
  width: 100px; 
  height: 100px; 
  background-color: green; 
}

<div id="a"></div>

Плюс используется для преобразования к числовому типу.

"new Date()" (без плюса) - объект typeof(new Date()) => "object"

"+new Date()" - число typeof(+new Date()) => "number"

Преобразование к числу, унарный плюс +

+ перед значением используется для преобразования в число. Например:

var x = prompt("Введи число"); 
alert(typeof x);

Видно что x не является числом а строкой. Но стоит добавить + перед prompt как он скажет что наша переменная число.

var x = +prompt("Введи число"); 
alert(typeof x);

Еще одно применение это сложение строки и строки/числа

// не работает 
alert("12"+"12") 
//работает 
alert(+"12"+12); 
//работает 
alert(+"12"+(+"12"));

Для преобразования к числу в явном виде можно вызвать Number(val), либо, что короче, поставить перед выражением унарный плюс "+", почитать подробнее про преобразования типов в JS можно в учебнике Кантора