Как обратиться к элементу вне формы?

Чуть переписал Ваш код, если правильно Вас понял то можно так сделать. Но тут может быть много подводных камней, например ссылку сразу могут дёрнуть и попасть на любой шаг сразу.

(Если нужно что бы без перезагрузки работало надо javascript использовать)

<?
// файл home.php
$data = $_POST;
if(!isset($data['make'])) {?>
    <form class="form" action="home.php" method="POST">
        <?if( isset($data['make_todo']) ) { ?>
            <button type="submit" form="form" name="make" placeholder="Вывести"></button>
        <?}else{ ?>
            <button type="submit" name="make_todo" class="make_todo">+</button>
        <?}?>
    </form>
<?}else{?>
     string
<?}