Как остаться на странице после нажатия на кнопку SAVE

Для html-элемента button с атрибутом type="submit" отправка формы на сервер и загрузка страницы в ответ - стандартное поведение.

Соответственно, чтобы его изменить можно пойти двумя путями:

1) повесить на кнопку функцию-обработчик клика, в которой предотвратить стандартное поведение и выполнить свой код.

<script>
  document.getElementById("myBtn").addEventListener("click", function(ev){ 
    ev.preventDefault(); // отменил стандартное поведение кнопки
    // выполним ваш код, например, можно отправить ajax-запрос на вервер для сохранения данных
  });
</script>

2) кнопке поставить атрибут type="button", тогда при клике на нее форма отправляться на сервер не будет и страница, соответственно, не перезагрузится. Просто повесьте обработчик клика на эту кнопку, как в первом варианте, и отправьте ajax-запрос на сервер.