Как отправить post запрос с данными?

Немного подкоректировал Ваш код. Посмотрите, так все работает. Вы некорректно отправили в запросе содержимое файла, поэтому и вылезала ошибка

// Зависимости
const fs = require('fs');
const https = require('https');
const path = require('path');
const img = fs.readFileSync(path.join(__dirname, './public/img/logo.png'));

const options = {
  method: 'POST',
  protocol: 'https:',
  hostname: 'api.tinify.com',
  path: '/shrink',
  headers: {
    Authorization: `Basic ${Buffer.from('api:<Your-API>').toString('base64')}`,
    'Content-Type': 'application/x-www-form-urlencoded',
    'Content-Length': Buffer.byteLength(img),
  },
};
const req = https.request(options, function (res, req) {
  var data = '';
  res.on('data', function (chunk) {
    data += chunk;
  });
  res.on('end', function (e) {
    console.log(data);
  });

});
// Отправить содержимое картинки на сервер
req.write(img);
// Завершить запрос
req.end();