Как правильно составить синтаксис?

Вам нужно было экранировать одинарные ковычки и убрать точку с запятой в массиве, вот рабочий вариант:

var Array = {
'cfg' : '<div class="asd" onclick="function(\'asd\')"></div>'
};

Давайте присмотримся к строке

'<div class="asd" onclick="function('asd')"></div>'

Представим, что мы интерпретатор JS и читаем эту строку:

' // открылась кавычка
  // дальше строка внутри кавычек:
    <div class="asd" onclick="function(
' // закрылась кавычка!
asd // какая-то ерунда, что это вообще?
' // снова открылась кавычка и началась строка.
    )"></div>
'

Чтобы не делать таких ошибок, тренируйтесь выполнять JS в уме. Просто представьте, что вы — браузер, например. :)