Как работает генерация меню на этом сайте

К сожалению, я точно вам не напишу, как они всё обрабатывают.

Но лично я делал бы это таким образом:

1. На сайте делаю что-то вроде опроса (как и в Вашем примере), где соберу информацию в массив или отдельный объект (к примеру: {old: 17, sex: man}).
2. Отправляю POST или GET запросом этот массив/объект на PHP файл.

3. В PHP анализирую все полученный данные условиями. К примеру:

   if( $_POST['sex'] === 'male' ){
      if( $_POST['old'] >= 10 ){
     return 'Информация 1';
      }else{
         return 'Информация 2';
      };
   }else{
      if( $_POST['old'] >= 10 ){
         return 'Информация 3';
      }else{
         return 'Информация 4';
      };
   };
   

4. Принимаю полученный от PHP ответ.

5. Если я сгенерировал HTML в PHP, то просто вставляю его, а если - нет, то генерирую HTML по полученным данным и вставляю

Взгляните на форму. У них там есть input типа radio. Но они его скрыли cssом (display:none). При нажатие они javascriptом переправляют на URL с POST запросом.

<form action="https://zdravkamaksurova.diet/3" method="POST" id="radioQuestionForm">
                        <label class="radioAnswer" for="answer_0">
        <input id="answer_0" value="16" name="answer" data-score="1" type="radio">
        Почти никаква
    </label>
                        <label class="radioAnswer" for="answer_1">
        <input id="answer_1" value="17" name="answer" data-score="1.146" type="radio">
        Ходя често пеша
    </label>
                        <label class="radioAnswer" for="answer_2">
        <input id="answer_2" value="18" name="answer" data-score="1.292" type="radio">
        Тренирам 1-2 седмично
    </label>
                        <label class="radioAnswer" for="answer_3">
        <input id="answer_3" value="19" name="answer" data-score="1.438" type="radio">
        Тренирам 3-5 седмично
    </label>
                        <label class="radioAnswer" for="answer_4">
        <input id="answer_4" value="20" name="answer" data-score="1.583" type="radio">
        Тренирам 5-7 пъти седмично
    </label>
                    <input name="score" id="questionScore" value="1" type="hidden">
<input value="1" name="question" type="hidden">
<input name="_token" value="fDAU5jUw4ne7tjI6HfiwFFcphQRJpbc0SLOIFEFf" type="hidden">
<input value="radio" name="type" type="hidden">
<a href="https://zdravkamaksurova.diet/1" class="testBack">Назад</a>
</form>