Как сохранять полученные данные в формате JSON? (JavaScript)

Да, это возможно. Обычно это делается через создание временного элемента a, который не добавляют на станицу

Перед запуском убедитесь, что Роскомнадзор не сломал сайт https://jsonplaceholder.typicode.com/ у вашего интернет провайдера!

(async function() {
    const response = await fetch('https://jsonplaceholder.typicode.com/todos/1');
    const json = await response.text();
    const url = URL.createObjectURL(new Blob([json], {type: "application/json;charset=utf-8;"}));
    const a = document.createElement('a');
    a.download='sample.json';
    a.href=url;
    a.click();
})();