как запустить в одной функции два последовательных request запроса?

У вас синтаксическая ошибка в коде

.then(() { // <== это что такое???
    request(url_next_link, function(err, res, bodys){
        some another code
    })
})

Если используете request, то он умеет возвращать Promise ( ссылка ) и тогда вашу задачу можно решить через async/await

async function getServerData() {
    const result = await request(url, data);
    const result1 = await request(url2, result);
    return result1;
}
const result2 = getServerData();

Можно написать свою обертку простую

const asyncRequest = (...args) => new Promise((resolve, reject) => {
    request(...args, function(err, res, bodys) {
        if(err) reject(err);
        resolve(res, bodys);
    }
});

Используем

const {res, bodys} = await asyncRequest(url, data);
const {res, bodys} = await asyncRequest(url2, data2);