Мгновенный вывод текста из инпута в див

Для решения задачи можно использовать событие oninput:

function onInput() { 
    var input = document.getElementById("input"); 
    var div = document.getElementById("div"); 
    if (div != null && input != null) 
        div.innerHTML = input.value; 
}

<input type="text" id="input" oninput="onInput();"/> 
<div id="div" />

Возникает вопрос: а почему не onkeyup? По двум причинам.

Во-первых, при зажатой кнопке ввод в input будет продолжаться, а в div изменения попадут только при отпускании кнопки.

А во-вторых, ввод возможен и без помощи клавиатуры, например, вставка щелчком мыши по контекстному меню. В этом случае обработчик onkeyup вообще не будет вызван.

P.S. Возможны проблемы с IE9 и более старыми (https://learn.javascript.ru/events-change#%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5-input).

На скорую руку - добавляете обработчик нажатий в вашем инпуте, который будет копировать содержимое инпута в див.

var input = document.getElementById("input"); 
var div = document.getElementById("div"); 
input.addEventListener("keyup", function() { 
  div.innerText = input.value; 
})

#div { 
  height: 200px; 
  border: 2px solid; 
}

<input id="input" type="text"> 
<div id="div"></div>