Передать значение input обработчику

Я не очень понимаю зачем вы используете onclick если у вас уже есть jquery и можно просто навесить обработчик через on, но ладно, это ваше дело. Вернемся к вызову функции AjaxCountTotalPriceProduct.

Вы передаете туда 3 аргумента, каждый из которых строка:

AjaxCountTotalPriceProduct('amount', 'total_price_product', 'total_price_products')

Аргумент amount со значением 'amount' - это просто строка. У строки нет никакого свойства value, поэтому amount.value не возвращает ничего. Откройте консоль разработчика в браузере и проверьте на наличие ошибок.

Какой вывод - надо передавать либо значение поля. Значение поля обычно берется через функцию val(). Таким образом, вызов функции можно записать как:

AjaxCountTotalPriceProduct(
    $('#amount').val(),        // выбираем `#amount`, берем его значение
    'total_price_product', 
    'total_price_products'
);

Либо можно по прежнему передавать строку 'amount' и в самой функции уже получать значение поля:

function AjaxCountTotalPriceProduct(amount, total_price_product, total_price_products) {
    $.ajax({
        url:  'http://practice//CountTotalPriceProduct',
        type: "POST",
        data: {"amount_units" : $('#' + amount).val(), "total_price_product" : total_price_product, "total_price_products" : total_price_products},
        dataType: "json",
        cache: false,
        success: function(response) {
            $('#amount').val(response[0]);
            document.getElementById(total_price_product).innerHTML = response[1];
            document.getElementById(total_price_products).innerHTML = response[2];
        }
    });
}

Обратите внимание, что ключи объекта data содержат только нужное вам название, никаких =.

Также почаще дебагайте свой код, для вывода значений в консоль используйте console.log/console.dir.

function addToCartAjax(message) { 
  var myProductFilt = document.getElementById('productFilt').value; 
  var mySelQuantity = document.getElementById('inpAvNum').value; 
  var myFilterGroup = document.getElementById('filterGroup').value; 
 
  $.ajax({ 
    type: "POST", 
    url: "<?php echo 'http://'.$_SERVER['SERVER_NAME'].'/'.$_SESSION['USER_LANGUAGE'].'/cart/addAjax/';?>", 
    data: { 
      productCode: '<?php echo $productByCode[0][' 
      code ']; ?>', 
      productFilt: myProductFilt, 
      selQuantity: mySelQuantity, 
      filterGroup: myFilterGroup 
    }, 
    success: function(jsondata) { 
      var jstotal = JSON.parse(jsondata); 
 
      document.getElementById('topCartPrice').innerHTML = jstotal.totalPrice; 
      document.getElementById('topCartPriceItem').style.display = 'block'; 
      document.getElementById('topCartQuantity').innerHTML = jstotal.totalQuantity; 
      document.getElementById('topCartQuantityItem').style.display = 'block'; 
      //				console.log(jstotal.totalPrice); 
 
      swal(message, { 
        icon: "success", 
        buttons: false, 
        timer: 1700 
      }); 
    } 
  }); 
 
  return false; 
}

<button type="submit" class="toch-button toch-add-cart" name="cartAdd" id="cartAdd" onclick="addToCartAjax('<?php echo product_added_to_cart; ?>');"><?php echo product_button_add_to_cart; ?></button>

Вот Вам пример реализации.