Перенос и развертывание приложения с бд. express.js + mySql or mongodb.

Mongodb - вполне портативная программа. Её достаточно скачать и запустить бинарник с именем "mongod" как дочерний процесс. Однако у такого решения есть недостаток - оно будет платформозависимым. Если вы хотите, чтоб ваше приложение было кроссплатформенным, придётся хранить копии БД для Windows, Linux, Mac, Solaris.

SQL Короткий ответ, и да и нет. Если использовать ORM то большинство из них умеют делать миграции например http://docs.sequelizejs.com/en/v3/docs/migrations/.

Но, как правило миграции надо запускать отдельным скриптом из командной строки.

Можно это дело обернуть и запускать из самого приложения, но тогда надо будет при запуске проверить есть ли база запустить скрипты миграции.

С MongoDB попроще. Из за особенностей ее работы вы используя ODM http://mongoosejs.com/docs/guide.html посути просто создадите классы, а база будет создаваться автоматом.