Перенос строки в JSON

Никак, JSON хоть и человекочитаемый формат, но всё-таки предполагается, что он будет генерироваться компьютером и обрабатываться им же.

Добавить в строку символ конца строки можно используя escape-последовательность \n:

{"key": "line1\nline2"}

В вашем случае мне кажется стоит изменить структуру json и использовать вложенные объекты:

{
    "menu": {
        "1": "first",
        "2": "second",
        "3": "third"
    }
}

или вложенные массивы:

{
    "menu": [
        "first",
        "second",
        "third"
    ]
}