Почему не работает Intercooler после Ajax запроса?

Ну звучит достаточно просто - вам надо заного вызвать intercoolerjs чтобы он прошелся по html и заменил нужные блоки своими. Обычно это делают с помощью callback после ajax реквеста (который вернет вам еще не обработанный intercoolerjs html). Наверняка у этой либы есть метод, который запускает ее обработчик для определенного куска кода (сам не работал с ней, но по схожему принципу работают и другие либы-парсеры).

Это может быть запрос Intercooler.refresh(eltOrPath) или Intercooler.processNodes(elt) (intercoolerjs.org/docs.html).

По сути, после Ajax ты добавляешь новый HTML к существующему в какой-либо контейнер. Потом (желательно если контейнер будет с id или хотябы с class) этот контейнер ты передаешь на вход этим функциям от интеркулера (т.к. он наследован от JQuery, то можно сразу искать с помощью селекторов типа ".class")