Почему не срабатывает скрипт?

1) document указывается без кавычек:

$(document).ready(function(){...});

2) $(document).ready(function(){...}); - это не чистый JS, что бы оно запускалось, нужно подключить библиотеку Jquery

3) function system(){...} конечно можно указывать в document ready, но обычно её выносят за неё:

function system(){...};
$(document).ready(function() {...});

4) Запуск функции с кнопки можно сделать вот так:

$('button').on('click', system);

или так

$('button').on('click', function() { system() });

И это тоже не чистый JS, нужна библиотека Jquery

5) У вас переменные указаны по разному:

var a1 = $('#value1').val(); // Тут "a1"
if (a!=null){ // тут "a"
  ...
}else{
  ...
}

Измените на

var a1 = $('#value1').val();
if (a1 == null){
  ...
}else{
  ...
}

$('.button').on('click', function(){//Возможно, пропущен селектор класса '.', либо идентификатора '#'
    system(); //функции запускаются через анонимные
});

И да, там строчечка неприметная, но названия переменных разные:

var a1 =$('#value1').val();
if (a!=null){...}

a1 и a

Сдается мне, что это и есть корень проблемы