Почему таймер на останавливается?

componentDidUpdate(prevProps, prevState) {
    let {secondsRemaining} = prevState;
    if (secondsRemaining === 0) {
        // REQUEST
    } else {
        this.interval = setInterval(this.tick, 1000);
    }
}

Метод componentDidUpdate вызывается каждый раз, как у вас срабатывает апдейт компонента, даже когда вы уже запустили таймер, то есть после каждого вызова таймера, вызывается этот метод, где проверяется условие, которое снова срабатывает ( таймер обновляется, правда старый таймер никуда не исчезает )

Поэтому в итоге у вас куча таймеров в памяти = утечка памяти

class MyComponent extends React.Component {
  constructor(props) {
    super(props);
    this.state = {
      secondsRemaining: 100
    };
  }
  componentDidUpdate(prevProps, prevState) {
    let { secondsRemaining } = prevState;
    if (secondsRemaining === 0) {
      // REQUEST
    } else if (!this.interval) { // только если еще нет таймера
      this.interval = setInterval(this.tick, 10);
    }
  }
  componentWillUnmount() {
    // обязательно при анмаунте удаляем таймер
    clearInterval(this.interval);
    this.interval = undefined;
  }
  handleItemClick = () => {
    this.setState({
      secondsRemaining: 100
    });
  };
  tick = () => {
    this.setState({ secondsRemaining: this.state.secondsRemaining - 1 });
    if (this.state.secondsRemaining <= 0) {
      clearInterval(this.interval);
      this.interval = undefined;
    }
  };
  render() {
    return (
      <div>
        <div>{this.state.secondsRemaining}</div>
        <button onClick={this.handleItemClick}>click</button>
      </div>
    );
  }
}
const rootElement = document.getElementById("root");
ReactDOM.render(<MyComponent />, rootElement);