Подождать выполнение запроса sqlite на node.js

Вы должны сделать свою функцию асинхроной и работать с ней как с асинхронной функцией:

async function cat() {
    return new Promise((resolve, reject) => {
        db.all('SELECT id, Name FROM Categories', [], (err, rows) => {
            if (err) {
                return reject(err);
            }
            const arr = rows.reduce((acc, row) => {
                acc.push({
                    text: row.Name,
                    callback_data: row.id
                });
                return acc;
            }, []);
            resolve(arr);
        });
    });
}

Использование, вариант 1:

cat()
  .then((objects) => console.log(objects))
  .catch((err) => console.error(err));

Использование, вариант 2:

(async () {
  try {
    const objects = await cat();
    console.log(objects);
  } catch (err) {
    console.error(err);
  }
})();

Используйте better-sqlite3. Он в десятки раз быстрее и там нет проблем с асинхронностью.