Получить данные из базы данных (Javascript)

Вам действительно понадобится сервер. Самый простой и классический вариант, который легко организовать на любом хостинге: AJAX + php + MySQL.

Можно написать сервер на .net, но надо будет организовать его работу - для простых задач это лишнее усложнение. А для себя для такой задачи я выбрал бы сервер на Node JS + Mongo, так как их синтаксис - тот же самый js, их связка без проблем работает с большой нагрузкой, а создание и запросы бд на монго просты и интуитивны.

Единственная сложность - организовать сервер на ноде или использовать heroku, так как готовых простых решений/хостингов для ноды нету. Под апи я так понимаю REST. В простейшем варианте на php вам нужно будет создать страничку в корневой папке сайта на сервере search.php, которая бы отвечала на GET запрос вида:

yoursite.ru/search.php?city=bobruisk&street=lenina

высылая какие-нибудь данные в каком-либо виде, например в JSON:

[{
            "owner": "Осипенко Олег Эдуардович",
            "rooms": "3",
            "price": "$130",
            "adress": "Республика Беларусь, г. Бобруйск, ул. Ленина 13",
            "email": "osipenko123@mail.ru",
},{
            "owner": "Иванов Иван Иванович",
            "rooms": "2",
            "price": "$150",
            "adress": "Республика Беларусь, г. Бобруйск, ул. Ленина 4",
            "email": "ivanov1992@mail.ru",
}]

Смысл в том, вы на сайте с помощью AJAX отправляете запрос

GET yoursite.ru/search.php?city=bobruisk&street=lenina

сервер получает запрос, парсит параметры

city=bobruisk&street=lenina

подключается к базе данных и ищет в базе соответствия с помощью запросов к базе. Если нашел необходимые (в моем случае квартиры) данные, то выдает ответ со статусом 200, в котором в JSON хранятся квартиры. Вы парсите ответ с помощью javascript и собираете из них блоки или таблицу в HTML.