Получить угол поворота элемента jquery

var el = document.getElementById("thing");
var st = window.getComputedStyle(el, null);
var tr = st.getPropertyValue("-webkit-transform") ||
         st.getPropertyValue("-moz-transform") ||
         st.getPropertyValue("-ms-transform") ||
         st.getPropertyValue("-o-transform") ||
         st.getPropertyValue("transform") ||
         "FAIL";

Здесь можно почитать подробнее детально>>>

Атрибут transform, в случае когда у элемента установлен rotate возвращает матрицу 2д поворота которая ни что иное как:

cos(t) -sin(t) 
sin(t)  cos(t) 
  0       0    

для нахождения угла в декартовой системе координат есть специальная функция atan2(y, x)

Искомый угол в радианах можно найти по этой "формуле", соответственно нужно взять из матрицы 2 числа и передать их atan2:

t = atan2(sin(t), cos(t))

requestAnimationFrame(calc); 
 
function calc(t){ 
  requestAnimationFrame(calc); 
 
  var tr = getComputedStyle(trick).transform; 
  var values = tr.split(/\(|,|\)/); 
  // угол в радианах 
  var angle = Math.atan2(+values[2], +values[1]);  
  // приводим угол к диапазону 0-360 
  val.textContent = ((angle * (180/Math.PI)+360)%360).toFixed(0)  
 
}

#trick { 
  padding:50px; 
  width:50px; 
  height:50px; 
  position:absolute; 
  animation: 10s rot infinite linear; 
} 
 
#trick div{ 
  position:absolute; 
  width:50px; 
  height:50px; 
  border:solid; 
  border-radius:50%; 
  border-bottom-left-radius:0; 
  transform:rotate(135deg) 
} 
 
@keyframes rot { 
  0%   {transform:rotate(0)} 
  100% {transform:rotate(360deg)} 
}

<div id="val"></div> 
<div id="trick"><div></div></div>

let rotate = getComputedStyle(document.querySelector('.trick')).transform; 
 
const angle = (i) => { 
  let arr = i.match(/-?\d+\.?\d+[^,]/gi); 
  let [cos, sin] = [arr[0], arr[1]]; 
 
  let degree = Math.round(Math.asin(sin) * (180 / Math.PI)); 
  if (cos < 0) { 
    addDegree = 90 - Math.round(Math.asin(sin) * (180 / Math.PI)); 
    degree = 90 + addDegree; 
  } 
 
  if (degree < 0) { 
    degree = 360 + degree; 
  } 
 
  return degree; 
 
} 
 
console.log(angle(rotate))

.trick { 
  transform: rotate(45deg) 
}

<div class="trick"></div>