Преобразование 24 часа времени в 12 часов (PM / AM)

Это тернарный оператор. Для лучшего понимания почитайте тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/Тернарная_условная_операция

Безотносительно к определённому языку программирования тернарную операцию можно определить так:

логическое выражение ? выражение 1 : выражение 2

Алгоритм работы операции следующий:

1. Вычисляется логическое выражение.
2. Если логическое выражение истинно, то вычисляется значение выражения "выражение 1", в противном случае — значение выражения "выражение 2".
3. Вычисленное значение возвращается.

В Вашем случае:

hour = (hour >= 12)? hour - 12: hour;

заменить можно на:

if (hour >= 12) 
    hour = hour - 12;
else
    hour = hour;

Как видите это требует большего кол-ва кода, требует больше времени на понимания происходящего. Для сокращения кода и используют тернарный оператор ?:

А не проще-ли использовать стандартный функционал вывода даты?

var date = new Date(); 
 
// Запрашиваем нужный формат вывода даты 
var options = {  
      weekday: 'long',  
      year: 'numeric', 
      month: 'long',  
      day: 'numeric' ,  
      hour:  'numeric',  
      hour12 : true, // время в AM-PM формате 
      minute : 'numeric' 
}; 
console.log(date.toLocaleString('en-US', options));

hour = (hour >= 12)? hour - 12: hour;

Тернарный оператор имеет вид:

 Условие ? РезультатЕслиИстинно : РезультатЕслиЛожно  

Т.е. код выше, дословно обозначает:

  if (hour >= 12) {
    hour = hour - 12;
  } else {
    hour = hour;
  }

Из-за бессмысленной ветки else вариант if (hour >= 12) hour -= 12 может быть более предпочтительным.

Этот код выдаст вам время 0:15 am для четверти первого ночи, в то время как должно быть 12:15 am.

Предлагаю воспользоваться вот такой заменой:

hour= hour % 12 || 12;

Здесь мы берём остаток от деления на 12, но если он равен нулю результат равен 12.

Тернарный оператор не есть по сути заменой условному оператору if. Его использование оправдывается при встраивании небольшых условных веток прямо в выражения. Если вам нужно уже сделать условие вне выражения, лучше использовать if...else. То-есть в вашем случае код вида

if(hour >= 12){
  hour = hour - 12;
}else{
  hour = hour;
}

превращается в hour = (hour >= 12)? hour - 12: hour; .

Можно использовать Date.prototype.toLocaleTimeString() с локалем en-US.

Например, так: date.toLocaleTimeString('en-US'), что даст время в формате, к примеру "1:00:00 PM"

Подробнее здесь: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Date/toLocaleTimeString