Проблема с циклом JS

проверяйте переменную age, если она пустая или не является числом запустите функцию еще раз (рекурсия).

function userAge() { 
  var age = prompt('Привет. Сколько вам лет?'); 
   
  if (age && !isNaN(age)) { 
    if (age >= 18) { 
      alert('Вы можете войти на сайт!'); 
    } else if (age < 18) { 
      alert('Вход на сайт только для людей старше 18!'); 
    } 
  } else { 
    alert('Попробуйте еще раз!'); 
    userAge(); 
  } 
} 
 
userAge();

Первое - вам нужно сразу конвертировать строку в int. В JS это можно сделать с помощью +;

Далее - используем do-while цикл и проверяем, верное ли значение введено как age > 0 (количество лет человека не может быть меньше нуля, младенец младше года вряд ли зайдет).

Также я предлагаю обернуть в цикл только момент ввода данных.

function userAge() { 
  let age; 
  do { 
    age = +prompt('Привет. Сколько вам лет?'); 
  } while (age <= 0); 
 
  if (age >= 18) { 
    alert('Вы можете войти на сайт!'); 
  } else if (age < 18) { 
    alert('Вход на сайт только для людей старше 18!'); 
  } 
} 
 
userAge();

А если так? )

function userAge() {
    var age = prompt('Привет. Сколько вам лет?');
    if (age >= 18 && age != "") {
        alert('Вы можете войти на сайт!');
    } else if (age < 18 && age != "") {
        alert('Вход на сайт только для людей старше 18!');
    } 
    else {
          alert('Попробуйте еще раз!');
          userAge();      
         }
}
userAge();