React нажатия на кнопку срабатывают сами

() => this.handleClick()

так правильно

а срабатывает потому-что выполняется render() и внутри него сразу же вызывается handleClick() если вы не собираетесь пробрасывать параметры в эту функцию то можно написать так:

this.handleClick

А для того что-бы не повторять каждый раз <ImageList data={...}> Вы можете использовать map

{this.state.data.map((item, i) => <ImageList data={item} key={i} />)}