Событие на закрытие вкладки

К сожалению, универсального решения нет.

onbeforeunload поддерживается в Opera на основе движка WebKit, но не работает в предыдущих версиях, основанных на Presto.

С точки зрения дизайна пользовательского интерфейса, я бы рекомендовал просто придерживаться onunload. И выполнять ajax в данном методе, чтобы сохранить состояние вашей страницы.

onbeforeunload не рекомендуется использовать, так как оно мало что делает, кроме как раздражает пользователя предупреждающим сообщением.

возможно, вам поможет данная статья

https://www.zachleat.com/web/dont-let-the-door-hit-you-onunload-and-onbeforeunload/

Стандартными событиями выгрузки документа являются только beforeunload и unload.

Они работают всегда (при их поддержке браузером), но есть ограничения допустимых действий в обработчиках этих событий.
В частности, диалоги вызванные из обработчиков события unload документа - не будут отображены.
Остальные ограничения, целиком и полностью зависят от браузера и его настроек. На эти вещи нельзя повлиять из JavaScript документа (иногда можно из расширения).

Отмена выгрузки документа возможна только в обработчике события beforeunload - опять же, лишь в том случае если браузер разрешит запрос пользователю:

window.addEventListener('beforeunload', function (e) {
  // Попытка отменить выгрузку стандартным способом 
  e.preventDefault();
  // Установка строки запроса пользователю
  e.returnValue = 'Вы уверены в том что хотите покинуть страницу?'; 
});

Браузер может проигнорировать строку в returnValue, показав свой текст, но присвоение этому свойству какого-либо строкового значения требуется для показа диалога (как минимум в Chrome).
"Тихая" отмена выгрузки, без диалога подтверждения - ни в одном браузере не поддерживается, насколько знаю. И это правильно.