TypeScript ругается на 'initialValue' в методах массивов

initialValue - есть только у reduce. У остальных методов, вторым аргументом передается this, который будет использован в callback, переданном в первом аргументе.

Но даже не смотря на это, ошибка просто в том, что нигде не объявлена переменная index.

Для решения достаточно объявить ее:

var index = 1;
const result: any = sort.map((val, i) => ({ ...val, value: index++ }))

Хотя странно, почему тут не использовать параметр i, в котором и передается индекс текущего элемента.

именно в thisArg я хочу объявлять свою переменную index

Объявлять внутри выражения нельзя. Однако можно передать туда объект с полем index, заменив при этом стрелочную функцию на обычную

const result: any = sort.map(function(val, i) { return { ...val, value: this.index++ };}, {index: 1});

Однако в этом случае доступа извне к нему тоже не будет, поэтому в любом случае если index понадобится снаружи, придется объявлять переменную отдельно.

Хочу хранить переменную index как this и использовать её

Для этого эта переменная в любом случае должна быть объявлена и передана вторым параметром. Однако с просто числом данный вариант невозможен, так как его невозможно будет изменить между вызовами.

То есть, сделав this++ внутри callback будет ошибка Invalid left-hand side expression in postfix operation