Вычислить координаты ортогональной проекции точки на отрезок

Проекцию можно найти, используя скалярное произведение векторов

 D = A + AB * Dot(AC, AB) / Dot(AB, AB)

В псевдокоде:

 abx = B.X - A.X
 aby = B.Y - A.Y
 dacab = (C.X - A.X) * abx + (C.Y - A.Y) * aby
 dab = abx * abx + aby * aby
 t = dacab / dab
 D.X = A.X + abx * t
 D.Y = A.Y + aby * t

Здесь немного другие обозначения (C=P, N=D) и пояснения

• Метод "пересечения":

  Если построить точку С' = (Cx - (By - Ay), Cy + (Bx - Ax)), то прямая CC' будет перпендикулярна прямой AB. Пересечение прямых AB и CC' даст вам точку D.

  Метод "тяжеловат" с вычислительной точки зрения из-за того, что использует пересечение двух прямых в качестве примитива. Но прост в реализации, если такой примитив уже есть под руками.

• Метод "расстояния":

  Если AA, BB и CC - коэффициенты уравнения прямой, содержащей отрезок AB (легко вычисляются через координаты точек A и B), то величина

  DD = AA * Cx + BB * Cy + CC
  

  даст вам знаковое расстояние от этой прямой до точки C, домноженное на |(AA, BB)|. Если к точке C прибавить вектор DD * (-AA, -BB), то мы получим точку, которая смещена относительно C в правильном направлении, но, условно выражаясь, "слишком далеко": расстояние превышает требуемое в |(AA, BB)|^2 раз. Достаточно разделить смещение на эту величину - мы получим требуемую точку D

               DD 
  D = C + ------------ * (-AA, -BB)
          |(AA, BB)|^2
  

  Этот метод тоже несколько громоздок из-за "лишних" вычислений уравнения прямой, но может быть полезен, если вы и так уже знаете/вычисляете уравнение прямой, а также если вам в дополнение к точке проекции нужно еще вычислять и расстояние от C до AB.

• Метод "скалярного произведения":

  Очевидно, что

          |(A, D)|
  D = A + -------- * (A, B)
          |(A, B)|
  

  При этом скалярное произведение вектора (A, C) на вектор (A, B) - это длина проекции (A, D), домноженная на |(A, B)|.

  (A, C)•(A, B) = |(A, D)| * |(A, B)|
  

  Тогда

          (A, C)•(A, B)
  D = A + ------------- * (A, B)
            |(A, B)|^2
  

(Можно показать, что если собрать все вычисления второго метода в одну формулу, то она "сократится" до третьего метода.)