вывести на экран сумму всех чисел, расположенных в числовом промежутке от Х до У

Вы складываете и сравниваете СТРОКИ, которые получили от пользователя, приведите их а Number.

Например вот так, за счет особенностей приведения типов в js:

var x = +prompt("Введите число","");

Или так, явно вызвывая функцию Number:

var x = Number(prompt("Введите число",""))

Целое можно попробовать получить вот так:

var x = parseInt(prompt("Введите число",""));

var x = +prompt("Введите число",""); 
        var y = Number(prompt("Введите число","")); 
        var sum = 0; 
     
        while (x<y) 
        { 
          x++; 
           
          if(x<y)  
            { 
              sum+=x; 
            } 
        }     
        document.write(sum);

Как написал Stranger in the Q: Вы складываете и сравниваете строки, приведите их к Number, так:

var x = +prompt("Введите число","");

или так:

var x = new Number(prompt("Введите число",""));

Добавлю, что вместо цикла можно использовать формулу арифметической прогрессии Что-то типа

sum=(x+y)*(x-y-1)/2;