Vue не реагирует на изменения объекта

Если я правильно понял, то это связано с тем, что Vue не может отследить добавление или удаление свойств реактивного объекта.

Для добавления свойств в реактивный объект необходимо использовать Vue.set( target, key, value )

В вашем коде:

this.$set(this.cart, index, {
    id: index,
    name: this.goods[index].name,
    price: this.goods[index].price,
    img: this.goods[index].img,
    number: 1
});

JSfiddle с изменениями