Как избежать jQuery, когда нужен ajax?

В первую очередь нужно научиться сериализовывать данные.
Ниже приведена упрощённая реализация, не поддерживающая многократно вложенные данные.
Лучше всего взять готовую реализацию, например, $.param из того же jQuery

Далее воспроизводим обычный сниппет ajax вызова. Обработка результатов может быть разной, тут я использовал стандартный для nodejs callback-style, с сигнатурой function next(error, result).

function ajaxPost(uri, data, next) { 
  function serialize(data) { 
    var parts = []; 
    for (var k in data) { 
      if (Array.isArray(data[k])) { 
        parts.push(encodeURIComponent(k) + '[]=' + encodeURIComponent(data[k])) 
      } else if (typeof data[k] === 'object') { 
        for (var objk in data[k]) parts.push(encodeURIComponent(k + '[' + objk + ']') + '=' + encodeURIComponent(data[k][objk])) 
 
      } else { 
        parts.push(encodeURIComponent(k) + '=' + encodeURIComponent(data[k])) 
      } 
    } 
    return parts.join('&'); 
  } 
  // Далее стандартный сниппет: 
  var xhr = new XMLHttpRequest(); 
  xhr.onreadystatechange = function() { 
    if (xhr.readyState == 4) { 
      if (xhr.status === 200) { 
        next(null, xhr.responseText); 
      } else { 
        next(xhr.responseText); 
      } 
    } 
  } 
  xhr.open("POST", uri, true); 
  xhr.setRequestHeader("Content-type", "application/x-www-form-urlencoded"); 
  xhr.send(serialize(data)); 
} 
 
ajaxPost('https://httpbin.org/post', { 
  max: 5, 
  min: 2, 
  list: [1, 2, 5], 
  obj: {a: 'some', b: 42} 
}, function(err, res) { 
  if (err) return console.error(err); 
  console.log(res); 
})

Если вы не ограничены поддержкой старых браузеров, рекомендую всё же использовать новый синтаксис fetch.
Сериализация всё ещё остаётся на вашей совести, в данном примере я демонстрирую json:

fetch('https://httpbin.org/post', { 
  method: 'post', 
  headers: { 
    'Accept': 'application/json, text/plain, */*', 
    'Content-Type': 'application/json' 
  }, 
  body: JSON.stringify({a: 7, str: 'Some string: &=&'}) 
}).then(res => res.json()) 
  .then(res => console.log(res));

Разобрался таки в ajax без jQuery (немного). Для своих целей сделал такую функцию:

var ajax = function (requestObject) {
        request = new XMLHttpRequest();
        request.onreadystatechange = function () {
            if (request.readyState == 4 && request.status == 200) {
                requestObject.success(request.responseText);
            }
        }
        request.open("POST", requestObject.direction, true);
        request.setRequestHeader("Content-type", "application/x-www-form-urlencoded");
        data = "min=" + requestObject.min + "&max=" + requestObject.max;
        request.send(data);
    }

И вызов:

button.onclick = function () {
            ajax({
                direction: "num.php",
                min: document.querySelector("#min").value,
                max: document.querySelector("#max").value,
                success: function (data) {
                    document.querySelector("#res").innerHTML = data;
                }
            });         
        }

Чем то напоминает функцию jQuery, но эта только для моих целей, совсем не гибкая. Если поработать над ней, то можно сделать универсальную функцию, которую можно будет использовать где угодно. (А мне пока этого зватит)