Модальное окно по клику на button

Можно сделать так:

$("#sub_toggle").click(function() { 
  $('#sub_modal').slideToggle(); 
});

#sub_modal { 
  display: none; 
}

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script> 
 
 
<div id="sub_modal">модалка</div> 
<button id="sub_toggle">кнопка</button>

Но:

Страница перезагружается из-за того, что форма отправляться. Если форма на ajax то делать проверку отправки формы через jquery ajax success, а если нет, то можете отправить параметр в url через php типо index.php?response="openmodal" а потом делать проверку типа if $_GET['respons'] == 'openmodal'

У тега <button> есть атрибут type

По умолчанию он установлен как type="submit"

Чтобы форма не отправлялась достаточно установить type="button", что даст понять броузеру, что это кнопка-заглушка - подробности о теге <button>