PHP. JQuery. Проверка на пустое значение поля

$('.form_id_2').on("submit", function(e){ 
	var valid = true; 
	$("[name*='REGISTER']").each(function(m){ 
  	var _this = $(this); 
    if(_this.val() != ''){ 
    	var hide_error_id = "#"+_this.attr("rel_err"); 
    	$(hide_error_id).hide(); 
      console.log("hre") 
    }else{ 
    	valid = false; 
    } 
  }) 
	if(!valid){ 
 	 return false; 
  } 
})

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script> 
<form class="form_id_2" action="/"> 
  <input type="text" name="REGISTER[LOGIN]" rel_err="errIdLOGIN"> 
  <input type="text" name="REGISTER[PASSWORD]" rel_err="errIdPASSWORD"> 
  <input type="text" rel_err="errIdCONFIRM_PASSWORD" name="REGISTER[CONFIRM_PASSWORD]"> 
  <input type="text" rel_err="errIdEMAIL" name="REGISTER[EMAIL]"> 
  <input type="submit" value="Button"> 
  <div id="errIdLOGIN">errIdLOGIN</div> 
  <div id="errIdPASSWORD">errIdPASSWORD</div> 
  <div id="errIdCONFIRM_PASSWORD">errIdCONFIRM_PASSWORD</div> 
  <div id="errIdEMAIL">errIdEMAIL</div> 
</form>

$('.form_id_'+formID).find("input[type='submit']").click();

Это не функция, навешенная на кнопку, это вызов события click.

Из вопроса можно только догадываться что нужно (комментарии к вопросам не могу писать пока). Как я понял нужна валидация формы перед отправкой.

//Если у Вас много форм и их нужно валидировать, то советую навесить на них общий класс,
//тогда можно переписать так $('.validate_form').find('input[type="submit"]')
$('.form_id_'+formID).find('input[type="submit"]').click(function(){
    var submitElem = $(this),
        isValidate = true,
        form = submitElem.paretns('form');
    form.find('[name^="REGISTER"]').each(function(i, formElem){
        var formElemName = $(formElem).attr('name'),
            //Надо получить имя поля, чтобы высветить нужную ошибку, не совсем удобно получается
            fieldName = formElemName.replace(/^REGISTER\[/, '').replace(/\]$/, '');
        $('#errId' + fieldName).hide();
        if ($(formElem).val() === '') {
            isValidate = false;
            $('#errId' + fieldName).show();
        } 
    });
    if (!isValidate) {
        //валидация не прошла, 
        //тут можно вывести предупреждение или подсветить нужные элементы формы
        return false;
    }
});

P.S. Когда пишите выборку jq по атрибутам, то указывайте имя атрибута в двойных кавычках (как в html), а всю строку выборки, соответственно, в одинарных.