Получить json после ajax с преминением promise

Не возвращает .done то, что Вы возвращаете из функции, которую туда подаете в качестве параметра. Возвращать что-то из этой функции бессмысленно. .done возвращается сразу (и возвращает тот же самый promise) - он всего лишь запоминает функцию, которую Вы туда подали, чтобы вызвать ее, когда "обещание" (promise) исполнится.

Не могут у Вас в коде появится данные, получаемые асинхронно, до того, как придет ответ на запрос.

var productinfo = function(id, callback) {
  $.ajax({
    dataType: "JSON",  
    type: 'POST',
    url: "serverscript/jsonproduct.php",
    data: "id="+id,
    success: callback
  });
}
productinfo(id, function(data) { console.log(data); });

Очень прошу, в 2018 (почти) году не писать код с коллбеками, тем более на фронтенде.. (как предложено в другом ответе). Если Вы хотите использовать jQuery, хотя для этой задачи (опять же в почти-2018-м году), то можете обернуть его в промис вот так.

Сразу отмечу, что данная проблема и лишний код появляется потому, что используется jQuery для запросов, хотя есть fetch и полифилы к нему

Вариант 1:

const getProductInfo = id => new Promise((resolve, reject) => {
  const params = {
      dataType: "JSON",
      type: 'POST',
      url: "serverscript/jsonproduct.php",
      data: "id="+id,
  };
  $.ajax(params)
    .done(data => resolve(data.responseJSON))
    .fail(() => reject('Failed'));
});
// later on..
try {
  const productInfo = await getProductInfo('123');
}
catch (e) {
  // react to error
}

Вариант 2 (удобнее):

const getProductInfo = id => new Promise((resolve, reject) => {
  const params = {
      dataType: "JSON",
      type: 'POST',
      url: "serverscript/jsonproduct.php",
      data: "id="+id,
  };
  $.ajax(params)
    .done(data => resolve(data.responseJSON))
    .fail(() => resolve(null));
});
const productInfo = await getProductInfo('123');
if (!productInfo) {
  console.log('error');
}

Если нет возможности использовать async/await:

getProductInfo('123')
  .then(console.log)
  .catch(console.log);

Вариант с fetch

const getProductInfo = id => fetch('/url.json', {
  method: 'POST'
})
  .then(data => data.json())
  .catch(e => null);
const productInfo = await getProductInfo('123');
if (!productInfo) {
  // log error
}