Внести блок в localstorage

Проще всего решить эту задачу, используя куки, потому что у кук есть время жизни, и проверять нужно лишь то, существует кука или нет.

(чтобы этот код заработал, нужно нагуглить и скачать плагин jquery.cookie.js)

let cook = $.cookie('cookie_name'); // пытаемся получить куку
if(!cook) { // если куки нет
    $('.new-design').css('display', 'block'); // открываем блок
}
else { // а если кука ещё живая, оставляем блок скрытым
    $('.new-design').css('display', 'none');
}
$(".close-new-design").on("click", function(){ // по клику
    $(".new-design").addClass('active'); // скрываем блок
    $.cookie('cookie_name', 'cookie_value', { // ставим куку
        expires: 1/24 // на час
    });
});

Можно решить и с помощью localStorage, но потребуются дополнительные манипуляции с отсчётом времени, прошедшего с момента клика:

let storage = localStorage.getItem('my_storage'); // получаем значение из хранилища
let now = Math.round(new Date().getTime() / 1000); // получаем текущее время в timestamp
if(storage < now) { // если время в хранилище меньше, чем текущее
    $('.new-design').css('display', 'block'); // открываем блок
}
else { // если пока ещё больше (т.е. час не прошёл)
    $('.new-design').css('display', 'none'); // оставляем блок скрытым
}
$(".close-new-design").on("click", function(){ // по клику
    $(".new-design").addClass('active'); // скрываем блок
    localStorage.setItem('my_storage', Math.round(new Date().getTime() / 1000) + 3600); // записываем в хранилище значение, равное текущему времени + 1 час
});