Возможно ли локально (не на сервере) прочитать file.txt?

Пример использования File API:

document.getElementById('file').onchange = function(event) { 
  let file = event.target.files[0]; 
  if (!file) return; 
  let reader = new FileReader(); 
  reader.onload = function(event) { 
    document.getElementById('filecontent').innerText = event.target.result; 
  } 
  reader.readAsText(file); 
}

<input type="file" id="file"></input> 
<p id="filecontent"></p>

Можно с помощью File API. Но только в том случае когда пользователь сам выбрал данный файл с компьютера с помощью input:file.

1. Проверить что FileAPI поддерживается браузером
2. Получить объект файла File из input:file.
3. Прочитать файл с помощью FileReader в строку
4. Эту строку добавить как текст в параграф.

Вот неплохая статья на эту тему

Например, так:

$.ajax({
    url : "file.txt",
    dataType: "text",
    success : function (data) {
        $("p.text").html(data);
    }
});