Как избежать повторения части условий в конструкции CASE в MySQL?

По стандарту SQL. Сокращенный CASE допускает только сравнение с конкретными значениями и только на равенство.

как написать вычисление месяца один раз

Можете, конечно, попробовать использовать переменную:

SELECT `Дата заключения` AS Подписан,
    CASE
        WHEN (@month:=month(`Дата заключения`)) BETWEEN 3 AND 5 THEN 'Весна'
        WHEN @month BETWEEN 6 AND 8 THEN 'Лето'
        WHEN @month BETWEEN 9 AND 11 THEN 'Осень'
        ELSE 'Зима'
    END AS Сезон
FROM договор
ORDER BY Подписан DESC;

Но, во-первых, профит копеечный, фиг заметишь, во-вторых, сервер не дурак, и скорее всего сам выполнит вычисление только один раз (он же формализует выражения).

Хотя я бы вообще сделал так:

SELECT `Дата заключения` AS Подписан,
    ELT(1+(month(`Дата заключения`) DIV 3), 'Зима', 'Весна', 'Лето', 'Осень', 'Зима') AS Сезон
FROM договор
ORDER BY Подписан DESC;