Подсчет в столбце MySQL

Самое интересное в таких задачах - а для чего именно Вам первая таблица? Если я всё правильно понял, то Вам нужно:

SELECT `id_author`, SUM(`quantity`) FROM `books` GROUP BY `id_author`

Если всё же по какой-то причине Вам требуется что-то из таблицы authors, то тогда так, например:

SELECT `a`.`name`, SUM(`b`.`quantity`)
FROM `authors` `a`
INNER JOIN `books` `b` USING `id_author`
GROUP BY `a`.`id_author`

Либо если нужно вывести с учетом того, что у автора может не быть книг:

SELECT `a`.`name`, COALESCE(SUM(`b`.`quantity`),0)
FROM  `authors` `a`
LEFT JOIN `books` `b` USING `id_author`
GROUP BY `a`.`id_author`