SQL - разница между COUNT(1) и COUNT(*)?

Это два эквивалентных запроса. Причем в MySQL если вы используете MyISAM движок, то COUNT(*) будет выполнен очень быстро, если используется SELECT из одной таблицы и нет WHERE условия, поскольку информация о количестве строк будет храниться в специальном хранилище.
Для COUNT(1) эта оптимизация так же сработает, но при условии, что первый столбец объявлен как NOT NULL.

Дополнительно можно почитать здесь

Разницы нет. Оба варианта вернут одинаковый результат. По производительности тоже различий не будет, т.к. оптимизатор не станет преобразовывать * в список столбцов за ненадобностью.

PS очень рекомендую ознакомиться с ответами по ссылке приведенной @Алексей Шиманский

PPS SQLFiddle (MySQL) показывающий работу COUNT(*), COUNT(1) и count(NULL) в случае использования JOIN'ов