Запрос на удаления

На сколько я понял вашу структуру, то здесь нужно рекурсивное удаление

$db->beginTransaction();
function req_delete($cat_id) use ($db) {
    // удаляем связанные продукты
    $db->execute("DELETE FROM Products WHERE group_id = $cat_id");
    // рекурсивно удаляем детей
    $children = $db->query("SELECT FROM `Group` WHERE parent_id = $cat_id");
    if ($children) {
        foreach ($children as $child) {
            req_delete($children['id']);
        }
    }
    // удаляем категорию
    $db->execute("DELETE FROM `Group` WHERE id = $cat_id");
}
$db->commit();

Код на правильность не проверял, так что код только для передачи идеи